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Mon, July 27. 2009

Curiosities: Esto es lo que pasa en este campo siendo un novato…

Agregando a un contacto en el ResearchGate me ha escrito diciéndome lo siguiente:

Graeme Smith sent you a message on ResearchGATE.

Subject: Welcome to the Articicial Consciousness Group

I see you have asked me to confirm a contact. Usually it is best to contact someone before using them as a contact. The mechanism for creating contacts allows you to send a message with the request.

I see a couple of interesting things in your profile, the Mathematical bent, the interest in complexity classes, and the interest in P vs. NP.

My own mathematical background is sketchy, I have a low clerical aptitude which gets in the way of doing much math, but I have a problem that might be right up your alley, if you are interested.

The idea is that the Second Law of Thermodynamics, is not Quantum Safe, in that the definition of equilibrium does not translate well in the Quantum Realm. While we are looking at it, I see a problem with the definition of Entropy as well, because it does not deal well with the nature of self-organization.

My idea is that there is a measure E/S where E is energy and S is Entropy, that determines whether an element will self-organize increasing its order, stay the same, or break-down into smaller components.

In an incremental Universe E/S would be determined by the Energy supply in the Universe and some factor of the increase in space made possible through expansion at C and by the opening of new dimensions as Universal Complexity makes new dimensions possible. The result is that the Energy level would follow a Power curve as Entropy Oscillated around the Equilibrium where E/S approximates 1

Where I draw a parallel between Self-organization and Complexity, would be where distinct classes of Order are created, since these would be generated at different times with different E, S, and E/S levels at about the Lands of the Power Curve. The E/S measure would probably determine how stable they are, the E how large or energetic, and the S how complex they are in regards to other elemetns.


Después de releerlo muchas veces, me queda imposible comprender siquiera un poco de su propuesta, mi nivel técnico está muy por debajo, lo siento, Aunque tengo un ensayo por terminar de redactar y traducir que puede servir en su grupo de investigación “Articicial Consciousness Group” por si le interesa :S

LittleEssayAbout: Artificial Consciousness/Consciencia Artificial

Hace un tiempo llevo dándole forma a este ensayo, sin embargo, y dado a la magnitud del mismo, solo lo he conseguido hasta el momento de una forma muy poco rigurosa científicamente hablando, y escrito sin tener en cuenta la correcta estructura de un ensayo, redacción y otros factores de escritura en general.
Sin embargo he decido publicarlo solo para la depuración del mismo, es decir, comentarios y criticas, aunque está escrito de manera muy personal espero sea entendible. Ya tendré la versión corregida y finalizada muy pronto, ya que lo necesito (incluso traducido) para el ResearchGate, por ultimo aclaro que tampoco está terminado. Opinen.

Consciencia:
(Del lat. conscientĭa, y este calco del gr. συνείδησις).
1. f. Propiedad del espíritu humano de reconocerse en sus atributos esenciales y en todas las modificaciones que en sí mismo experimenta.
2. f. Conocimiento interior del bien y del mal.
3. f. Conocimiento reflexivo de las cosas.
4. f. Actividad mental a la que solo puede tener acceso el propio sujeto.
5. f. Psicol. Acto psíquico por el que un sujeto se percibe a sí mismo en el mundo.

FILOSOFICAMENTE:= En términos filosóficos, es la facultad de decidir y hacerse sujeto, es decir, actor de sus actos y responsable de las consecuencias que de ellos se siguen, según la percepción del bien y del mal. Como fenómeno psíquico, la conciencia es objeto de estudio de la psicología y lapsiquiatría. Como concepto moral, de la ética, un campo de la filosofía.

Esta es la idea: El humano es una maquina donde el usuario es el universo, las variables (es decir, las interacciones universales) “moldean” la conciencia.
En las secciones del universo donde convergen menos variables, es muy probable que no haya vida consciente, las secciones del universo que presenten mas complejidad son las que más tienden a tener vida y vida consciente.

Los sentidos funcionan como un “input” que permanece constantemente activo, y el output, son las reacciones que puede tomar el ser humano (un modelo muy básico) al partir de su sistema de creencias, y demás sistemas que determinen su comportamiento.

La idea de un “yo concéntrico” es una ilusión, que tiene su explicación en que el humano es diferente por cada momento en el que el tiempo transcurre, ya que las variables cambian de valor por cada cambio temporal en el universo, es decir, no hay consciencia concéntrica, hay conciencia de “mi yo pasado” en la memoria física almacenada por el cerebro, de otra forma, el ser humano tiene una consciencia de su existencia que parte de su ubicación en la línea temporal , entonces esta autoconciencia (consciencia concéntrica) no es simultanea aunque aparente serlo por la velocidad de proceso que tiene el cerebro humano.

Con la presencia de una memoria física cerebral, y los inputs activos (sentidos), estos dos, permanentemente funcionando, tenemos consciencia, la consciencia es un estado activo que no puede ser interrumpido en ningún momento, es un estado de CONSTANTE OUTPUT, es la afluencia de:
Input - memoria física (la cual es dinámica, como la Ram, por hacer una analogía) + Contexto en general (luego extenderé este concepto) – Output.

Mal llamada Inteligencia Artificial, ya que la inteligencia es un conjunto de conocimientos “almacenados” en memoria, que deben interactuar a través de la consciencia, es decir, deben interrelacionarse.

Después de definir intuitivamente he llegado a lo siguiente:

Consciencia Artificial:
Sea una maquina determinista M, toda acción, todo input de información que se le hace a la maquina tiene un DETERMINADO CAMINO LOGICO que generara una consecuencia DETERMINADA, en la maquina, un output determinado, funcionando la maquina así como una “función” que convierte los valores iníciales en valores dados determinados por la característica forma de la función (esto es solo una analogía para la comprensión del concepto, leer acerca del determinismo científico)

Voy a postular el funcionamiento de la consciencia como una maquina determinista, pero esto implicaría que toda acción del hombre puede ser predicha sin ninguna limitación ni posibilidad de equivocarse de tener la suficiente información sobre su contexto, es decir, se cierra el paso para el libre albedrio sobre las decisiones que toma el hombre sobre sí mismo y las cosas con las que interactúa.

Hemos postulado antes que el hombre es DETERMINISTA, y sin embargo, posee consciencia, es decir, contrario a lo que acabo de postular, al parecer si cuenta con la capacidad de decidir, y con ese libre albedrio de consciencia, entonces como es posible?, Lo que debemos tener en cuenta aquí es el NO determinismo del universo, (como lo ha planteado el principio de incertidumbre de Heisenberg) entrando en materia, las INTERACCIÓNES FISICAS suceden en el universo de forma “arbitraria” con un rango de posibilidades, estados posibles en los que los elementos del universo pueden interactuar, ahora, si nos fijamos en el orden actual del universo nos damos cuenta que hay regiones del mismo que parecen ordenadas, un ejemplo básico, el sistema solar, que reúne la “coincidencia” de variables muy especificas, como el tamaño del sol, el tamaño de los planetas orbitantes, la distancia del planeta tierra del sol, etc. Ahora, siguiendo el orden de ideas, nos damos cuenta que en esta precisa región del universo, hay una convergencia de variables tal (no solo por cantidad, sino por las propiedades físicas que generan estas variables) que se pudo dar la generación de la química orgánica, elementos biológicos, RESPUESTAS (outputs) a la interacción de estas variables, organismos que se fueron volviendo más complejos, y que ya no solo respondían al universo como tal, sino que comenzaron a interactuar entre ellos mismos, (sí, me refiero a las teorías evolutivas).

A partir de toda esta complejidad, se generó el hombre, un organismo vivo que REACCIONA INSTANTANEAMENTE (es decir, muy rápido, recordar que nada puede ir mas rápido que la luz) frente a las interacciones universales, y este a su vez, tras interactuar entre sí y con el ambiente, comenzó a desarrollar tecnología, y esta tecnología a su vez se volvió tan compleja, que se abrió el camino a la generación de una consciencia artificial saltándose todo este camino evolutivo.

El humano reacciona de forma determinista al NO determinismo universal, y son tantas las variables input a las que se enfrenta, que funciona como si tuviese “libertad propia”, libre albedrio, cuando la libertad del hombre yace precisamente en la libertad del universo, mas no en la libertad de sí mismo.

A partir de esto, podríamos considerar entonces dos cosas:
Primero, (POSTULADO) la maquina debe SER DETERMINISTA, PERO (2) OPERADA POR UN SISTEMA NO DETERMINISTA, como lo es el universo, ya que la capacidad de un solo usuario de generarle a la maquina suficientes variables para que esta pueda funcionar “concienzudamente” está delimitada por su mismo cuerpo físico, entonces no hay mejor laboratorio para la conciencia artificial, que exponer a la maquina M al universo mismo.

Pero entonces hay una cuestión importante, como deben ser estos input para recibir información CONTINUAMENTE?, como debe ser la máquina para poder procesar esa información en un tiempo determinado como el ser humano?, DEBE HABER UNA EVOLUCIÓN DE POR MEDIO PARA GENERAR UNA MAQUINA ASI?, DEBE HABER GENERACIONES DE MAQUINAS PARA PODER GENERAR ALGO ASI? O PODEMOS LOGRARLO SALTANDONOS ESOS PASOS QUE LA NATURALEZA USO CON NOSOTROS?

Primero deberíamos poder responder a la pregunta de los dispositivos input, que hayan su respuesta en los avances tecnológicos de la electrónica, al igual que la segunda pregunta, porque SUPONEMOS QUE SOLO HACE FALTA UN INPUT Y UN OUTPUT ACTIVOS PARA GENERAR CONSCIENCIA, pero entonces, qué pasa con los animales? que al parecer son inteligentes MAS NO CONSCIENTES?, pues bien, suponemos que esto se debe a la “prueba y error” que la evolución genera para generar sus organismos. Para responder la tercera pregunta, debemos, obviamente, haber perfeccionado las primeras, y de ser correctas todas las deducciones, en efecto podría lograrse sin un proceso evolutivo natural.


Al fin de todo, EL HOMBRE NO DECIDE, EL HOMBRE REACCIONA.

Les recuerdo que las ideas están ambiguas y falta mucho por completar, pero sin embargo, hay postulados base entendibles, como la interacción entre maquina determinista y universo no determinista, que es principalmente lo que quiero mostrar.

Disculpas de antemano a aquellas personas letradas acerca del tema que sientan que estoy violando algún principio en uno de los muchos campos que abarca el desarrollo de la Inteligencia Artificial.

Tue, July 21. 2009

Notes:

Necesito un buen Diseñador y diagramador, http://mvrh.tumblr.com/, no?

Rebloggin: El mALEPHicio del infinito

Esta historia es continuación de Qué extraño es el infinito.

En el capítulo anterior dejamos a un viandante descubriendo cosas sobre el infinito. Esta persona tenía un nombre, que revelo ahora: Red Plockenokerol. Puede que su, digamos, rechazo inicial a la idea de infinito matemático provenga de su nombre. La cuestión es que al final claudicó, aunque fuera solamente en su propia mente, no le quedó otro remedio.

Pero por suerte (o por desgracia, quién sabe), la historia no acabó ahí.

Ringggggg

Suena el teléfono en la redacción de la revista Infinity,

Redacción de Infinity, Dígame.

Buenos días. Mi nombre es Red Plockenokerol. Quería hablar con Albert Vidhid.

Lo siento señor Plockenokerol, pero el señor Albert Vidhid se encuentra en el extranjero realizando una serie de reportajes. Si quiere puede comentarme qué es lo que quería por si yo puedo ayudarle.

Pues…verá. Un día me lo encontré por la calle y me hizo algunas preguntas sobre el infinito…a raíz de las cuales me enseñó unos documentos…Bueno, la cosa es que me han surgido algunas dudas después de pensar en ellos y quería saber si él me podía ayudar. Por cierto, ¿cuál es su nombre?

Ah, perdone, no me he presentado. Mi nombre es Roger Toncag. Sobre sus dudas, creo que yo estaré lo suficientemente capacitado para ayudarle (normal, con ese nombre…). Podemos quedar esta misma tarde y hablamos.

De acuerdo. ¿Dónde podemos vernos?

La cafetería Far Away creo que será buen lugar. A las 18:00 nos vemos allí.

Perfecto. Hasta esta tarde.

Ahí terminó la conversación. Pero no nuestra historia. De hecho ésta no había hecho más que comenzar…

El reloj marca las 17:58. Red Plockenokerol ha sido excesivamente puntual, quizás por la ansiedad que le provoca no saber qué va a encontrarse, qué nuevo mundo se abrirá ante sus ojos. A lo lejos ve a un señor con traje que se acerca a la puerta de Far Away. Al llegar a su altura pregunta.

Roger Toncag: ¿El señor Plockenokerol?

Red Plockenokerol: Soy yo. Supongo que usted será el señor Toncag.

R.T.: Exacto. Entremos.

Entraron en la cafetería y se sentaron en una mesa al fondo, al lado de una ventana.

R.T.: Bueno, usted dirá. ¿Cuáles eran esas dudas?

R.P.: Bien, verá. El señor Vidhid me estuvo explicando cosas sobre el infinito y sus curiosas propiedades a través de la historia del hotel de Hilbert. Esta curioso hotel me ha hecho pensar y me ha surgido una duda. ¿Todos los infinitos son iguales? Hace un tiempo habría dicho que sí rotundamente, pero si le digo la verdad ahora no lo tengo tan claro.

R.T.: Creo que ha dado con la persona perfecta para aclararle este tema. Como supogno que mi amigo Albert ya le habló de los conjuntos finitos e infinitos vamos a comenzar poniendo nombre a un cierto tipo de conjuntos. Diremos que un conjunto es infinito numerable (o simplemente numerable) si puede ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los naturales positivos. A partir de esto la cuestión sobre la que usted duda es ver si todo conjunto infinito es numerable o si, por el contrario, hay conjuntos infinitos que no se pueden numerar.

R.P.: Por lo que veo usted llama numerar un conjunto infinito a poner en correspondencia biunívoca ese conjunto con los naturales positivos, ¿verdad?

R.T.: Exacto, eso es numerar un conjunto infinito. Voy a proponerle un juego. Imagine que yo pienso un número natural positivo y le reto a que lo adivine. Las normas son que cada día usted puede decir un único número natural. El día que lo adivine recibirá un premio. ¿Puede imaginar alguna estrategia para ganar?

R.P.: Hombre, es sencillo. EL primer día digo el 1. El segundo día el 2. El siguiente el 3. Y así sucesivamente. Debe llegar algún día en el que diga el número que ha pensado.

R.T.: Muy bien, perfecto. Ahora, con las mismas reglas que antes, pienso un número entero que no sea cero. ¿Tenemos estrategia?

R.P.: Pues…veamos. El primer día digo el 1. El segundo el -1. El tercero el 2. El cuarto el -2. Y continúo así.

R.T.: ¡Correcto! Y además fíjese lo que acaba de hacer: ha puesto en correspondencia biunívoca el conjunto de los números naturales con el conjunto de los números enteros distintos de cero. El segundo conjunto parece tener más elementos, pero en cuestión de infinito es igual que el primero, ya que puede ponerse en correspondencia biunívoca con él. En consecuencia podríamos decir que hay tantos elementos en \mathbb{Z} como en \mathbb{N}.

R.P.: Vaya, qué curioso. Esto me suena al hotel de Hilbert.

R.T.: Lógico, ya que este problema es en esencia igual que el segundo problema que se plantea en la historia del hotel. Vamos con otro problema del mismo tipo pero algo más complicado. ¿Qué estrategia podríamos usar si en vez de pensar en un número pienso en dos números naturales positivos (podría ser el mismo número repetido)?

R.P.: Eso ya parece algo más complicado. Me da que no va a poder hacerse…

R.T.: Pues sí se puede. Fíjese que para cada n sólo hay n parejas (es decir, un número finito de parejas) en las que el número mayor es n. Por ejemplo, para el 4 tenemos las siguientes parejas de ese tipo: (1,4),(2,4),(3,4),(4,4). Por tanto, para el 1 sólo hay un par donde el 1 es el mayor: (1,1). Para el 2 hay dos parejas: (1,2),(2,2). Y así sucesivamente. Por tanto colocándolas en el orden (1,1),(1,2),(2,2),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4), \ldots llegaríamos a acertar el par de números.

R.P.: Vaya, no lo había pensado.

R.T.: De hecho hay más. Podríamos hacer algo parecido si además se pidiera que adivinara el orden en que están escritos los dos números simplemente nombrando cada pareja de números distintos en sus dos órdenes posibles. Algo así: (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(1,4),(4,1), \ldots. Con esto conseguimos algo que en principio puede parecer sorprendente: asociando cada pareja (r,s) con la fracción \textstyle{\frac{r}{s}} tenemos que en el primer caso hemos puesto todas las fracciones positivas cuyo numerador es menor o igual que su denominador en correspondencia biunívoca con los números naturales positivos y en el segundo caso hemos puesto en correspondencia uno a uno todas las fracciones positivas en correspondencia uno a uno con el mismo conjunto, con los naturales positivos.

R.P.: De hecho ahí hay más fracciones, porque habría fracciones repetidas, por ejemplo \textstyle{\frac{2}{4}} y \textstyle{\frac{3}{6}} son la misma fracción.

R.T.: ¡Muy bien! Veo que lo entiende. Por tanto hemos hecho algo que en principio atenta totalmente con cualquier tipo de razonamiento: extendiendo un poco el razonamiento (colocando los signos - cuando fuera necesario) hemos demostrado que en el conjunto de las fracciones, \mathbb{Q}, y el conjunto de los naturales, \mathbb{N}, hay el mismo número de elementos.

R.P.: Impresionante, nunca lo habría pensado. Pero ahora que lo veo en realidad tiene sentido.

R.T.: Claro que lo tiene. Hasta podríamos hacer más. Podríamos poner en correspondencia uno a uno todos los subconjuntos finitos de los naturales positivos con el propio conjunto de los naturales positivos. La forma de hacerlo se la dejo a usted, no voy a hacer yo todo el trabajo (Nota: esto os toca a vosotros en los comentarios).

R.P.: Muy bien, creo que ya me veo preparado para pensarlo. Pero antes de eso una pregunta: supongo que entonces también se podrá hacer lo mismo con todos los subconjuntos, ya sean finitos o infinitos, de \mathbb{N} y el propio \mathbb{N}, ¿no?

R.T.: ¡Ese es el punto más interesante! ¡No se puede! ¡Ese fue el gran descubrimiento del matemático Georg Cantor! Aquí tiene este texto que le he preparado justo para este momento. Léalo mientras pido otro café.

Nuestro amigo Plockenokerol comenzó a leer:

Georg Cantor fue un matemático alemán nacido a mediados del siglo XIX y que murió en la primera mitad del siglo XX. Principalmente es conocido por sus estudios en teoría de conjuntos, concretamente en los avances que realizó en relación con los conjuntos infinitos.

Cantor estaba convencido de que todos los conjuntos infinitos tenían la misma cantidad de elementos, es decir, todos se podían poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales positivos. Por ello dedicó gran parte de su vida a demostrar ese hecho. Tomó conjunto relativamente grandes, de los que pensaba que no cumplirían su idea, e intentó buscar formas de ponerlos en correspondencia uno a uno con \mathbb{N}. Fue consiguiéndolo con todos…hasta que llegó a P(\mathbb{N}), partes de \mathbb{N}, conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos, finitos e infinitos, de \mathbb{N}. Con éste no pudo. Ni él mismo salía de su asombro al darse cuenta de su propio descubrimiento. De hecho es famosa esta frase suya referida a dicho descubrimiento:

¡Lo veo, pero no lo creo!

Llamando cardinal a la cantidad de elementos de un conjunto, se sabe por teoría de conjunto que el cardinal del conjunto de partes de un conjunto de n elementos es 2^n. Cantor llamó \aleph_0 al cardinal de \mathbb{N}.Infinito-Alephs
Como P(\mathbb{N}) tiene más elementos, cómo hemos visto antes, su cardinal necesitaba otro nombre. Este fue \aleph_1.Por tanto, según Cantor, 2^{\aleph_0}=\aleph_1. Y así podríamos continuar, construyendo entonces una serie de cardinales de conjuntos, llamados números transfinitos: \aleph_0, 2^{\aleph_0}=\aleph_1,2^{\aleph_1}=\aleph_2, \ldots. De hecho también demostró que el cardinal de P(\mathbb{N}) es igual que el cardinal de \mathbb{R}. Por tanto, el conjunto de partes de \mathbb{N} tiene la misma cantidad de elemento que \mathbb{R}{, por lo que \mathbb{R}no es numerable.

Este fue el gran descubrimiento de Cantor. Aunque al principio este gran avance no fue aceptado por sus colegas (como suele pasar con temas que rompen tan radicalmente con el pensamiento de la época en cuestión), ni siquiera por su maestro Leopold Kronecker, al final fue aceptado por toda la comunidad de matemáticos (al menos de los serios, ya que siempre hay alguien que intenta demostrar lo contrario).

R.P.: ¡Vaya, sorprendente! Por un lado es una lástima dedicar tanto tiempo de tu vida a demostrar algo que resulta ser falso, pero por otro lado es emocionante haber abierto la puerta del mundo de los cardinales transfinitos al resto de la comunidad científica. Qué grande este Georg Cantor.

R.T.: Pues sí, la verdad es que sí. Por cierto, ¿no ha notado algo extraño en el texto que acaba de leer? ¿No ve raro que pusiera \aleph_1 como nombre del cardinal de \mathbb{R}?

R.P.: SI le digo la verdad no había caído.

R.T.: ¡Pues ese fue (y sigue siendo) uno de los problemas más interesantes de las matemáticas desde ese momento! Se denomina hipótesis del continuo (a \mathbb{R} se le denomina “el continuo”). Cantor conjeturó que no hay conjuntos cuyo cardinal esté entre \aleph_0 y \aleph_1.

R.P.: ¿Y qué ocurrió con este tema? ¿Se sabe cuál es la realidad?

R.T.: Pues la realidad es que…es válida tanto la conjetura de Cantor como su negación. Kurt Gödel demostró que podemos crear una teoría de conjuntos consistente tomando la HC como cierta (no hay ningún conjunto cuyo cardinal esté entre \aleph_0 y \aleph_1) y Paul Cohen demostró que se puede hacer lo mismo tomándola como falsa (hay infinitos números transfinitos entre cada dos escalones). Por ello la conjetura es indecidible en el seno de la teoría de conjuntos que se suele utilizar en la actualidad.

R.P.: ¿Y qué hacemos entonces?

R.T.: Pues en este caso suele tomarse como cierta, es decir, suele asumirse que entre \aleph_0 y \aleph_1 no hay ningún número transfinito. Bueno, creo que ya es suficiente por hoy, ¿no?

R.P.: Sí, la verdad es que creo que la tarde ha sido suficientemente productiva. Mejor lo dejamos por hoy. Espero que volvamos a vernos en alguna ocasión para seguir charlando sobre este tema.

R.T.: Quién sabe, amigo Plockenokerol, quién sabe.

Via : http://gaussianos.com

Rebloggin: Qué extraño es el infinito

Comenzaré con un poco de Rebloggin, para animarme a comenzar con este proyecto de una vez por todas.

Introducción

Los medios de comunicación utilizan muy a menudo las preguntas a pie de calle para pulsar la opinión del pueblo llano sobre cualquier tema de actualidad: intención de voto, paro, seguimiento de un club deportivo…Imaginemos que en una de estas salidas nuestro periodista, Albert Vidhid (afamado columnista y redactor de la revista Infinity), hace la siguiente pregunta a una persona cualquiera:

Albert Vidhid: ¿Qué es para usted algo infinito?

Posiblemente la respuesta no sería muy distinta de ésta:

Viandante: Pues algo que no tiene fin.

A.V.: Uhmmm…un círculo no tiene ni principio ni fin (en el sentido de que no tiene ni principio ni final), pero no parece que cuadre con la palabra infinito.

V.: Pues también es verdad. No sé, entonces…no sabría decir…

No parece por tanto que la respuesta de nuestro viandante sea suficientemente satisfactoria.

A.V.: Vayamos a tomar un café y le pongo un poco al día.

Albert se lleva a nuestro viandante a una cafetería cercana. Nada más sentarse le entrega unos folios. Mientras Vidhid va hacia la barra nuestro paseante comienza su lectura.

Pero entonces…¿qué es algo infinito?

Bien, antes de comenzar quiero aclarar (aunque no creo que haga falta) que todo lo que vamos a hablar aquí tiene que ver con el infinito matemático, es decir, con el sentido matemático del infinito. Hecha esta aclaración comenzamos con el tema.

La palabra infinito es un adjetivo. Por tanto lo primero que necesitamos es saber qué objetos pueden calificarse con este adjetivo. Esos objetos son los conjuntos, las colecciones de elementos.

En matemáticas podemos dividir los conjuntos en dos grandes grupos: los finitos y los infinitos. ¿Cómo saber de qué tipo es cada uno? Aquí entra en juego el concepto de correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca. Al meter la mano en un guante cada dedo entra en uno de los huecos del mismo. Ningún dedo queda fuera ni ningún hueco queda vacío. Eso es la correspondencia uno a uno: cada dedo corresponde a un y sólo un hueco y viceversa. Otro ejemplo: si miramos por la ventana de una clase y vemos que cada una de las sillas de la misma están ocupadas por un único estudiante, que no hay sillas vacías y que ninguna persona está de pie o sentada en el suelo tenemos que cada estudiante se corresponde con la silla que está ocupando. Esto es, el conjunto de sillas de la clase y el conjunto de estudiantes que hay en ella están en correspondencia biunívoca.

En este punto vamos a hacer entrar en escena a nuestro amado \mathbb{N}=\{0,1,2,3, \ldots \}, conjunto de los números naturales. Dejando por ahora al cero aparte (no lo vamos a marginar, como hace mucha gente, simplemente le vamos a dar un tratamiento distinto), vamos a llamar sección de \mathbb{N} de tamaño n, S(n), al siguiente conjunto:

S(n)=\{1,2, \ldots ,n \}

Con esta definición decimos que un conjunto es finito si puede ponerse en correspondencia uno a uno con algún S(n), para algún n\in\mathbb{N}. Es decir, si podemos encontrar alguna sección de \mathbb{N} tal que cada elemento de nuestro conjunto corresponda con un elemento de dicha sección sin que sobre ni elementos de nuestro conjunto ni elementos de la sección. Si para un cierto conjunto no podemos encontrar ninguna sección de \mathbb{N} con la que podamos hacer eso diremos que nuestro conjunto es infinito.

¿Y el pobre cero? Pues también corresponde a algo. Concretamente al conjunto que no tiene ningún elemento, al llamado conjunto vacío (¡qué haríamos los matemáticos sin él!). Repito: el conjunto vacío es el conjunto que no tiene ningún elemento. Eso no significa que no tengamos conjunto, el conjunto vacío sigue siendo un conjunto aunque no tenga elementos.


V.: Ya he terminado. La verdad es que ahora tengo algo más claro el tema de los conjuntos finitos e infinitos.

A.V.: ¿Está seguro? La segunda parte del documento que acaba de leer es un conjunto de situaciones hipotéticas que están relacionadas con el infinito. Estoy dispuesto a mostrárselas, pero antes voy a hacerle una prueba sencilla. Voy a plantearle una cuestión relativa a todo este tema. ¿Está preparado?

V.: Adelante.

A.V.: Bien, ahí va: si a un conjunto infinito le quitamos un elemento nos queda un conjunto ¿finito o infinito?

V.: Evidentemente infinito.

A.V. Nada de “evidentemente”. ¡Quiero una demostración!

Después de darle un par de vueltas nuestro viandante fue capaz de construir una demostración satisfactoria de ese hecho. ¿Podríais hacerlo vosotros?


A.V.: Muy bien, parece que sí que tiene las ideas algo más claras en lo que a los conjuntos infinitos se refiere. Pasemos entonces a la segunda parte. La situaciones hipotéticas que le he comentado antes son parte de una historia sobre un hotel imaginario, el hotel de hilbert, nombre debido a David Hilbert (vaya forma de distribuir las letras, con lo bien que quedan de la otra forma en la placa de la mesa de mi despacho), su creador. Comience a leerlas mientras pido otro café.

El hotel de Hilbert

Supongamos que tenemos un hotel con 1000 habitaciones individuales. Y supongamos que la ocupación es del 100%, es decir, todas las habitaciones están ocupadas por una persona. Si en esta situación llega una persona más al hotel pidiendo una habitación no podrá ser hospedada en él. Básicamente esto se debe a que no podemos poner en correspondencia biunívoca el conjunto de las habitaciones del hotel (de tamaño 1000) con el conjunto de personas que tendríamos en ese instante (de tamaño 1001).

El hotel de Hilbert es un poco especial, ya que tiene infinitas habitaciones, una por cada natural positivo. Todas las habitaciones son individuales, por lo que no pueden coincidir dos personas en la misma habitación. Para simplificar un poco la explicación de cada una de las situaciones que vamos a presentar podemos suponer que las habitaciones están dispuestas en línea recta, una al lado de otra, de izquierda a derecha. Por tanto tenemos una primera habitación…pero no tenemos última.

Un huésped más

Supongamos, como antes, que todas las habitaciones del hotel de Hilbert están ocupadas y que en ese momento llega una persona más al hotel buscando una habitación. En la situación anterior no se podía dar cobijo a este nuevo huésped, pero ahora sí. ¿Cómo? Muy sencillo. El gerente del hotel pide a todos los huéspedes que se muden a la habitación de su derecha, es decir, el de la 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 3, y así sucesivamente. Como no tenemos última habitación todos los ocupantes del hotel siguen teniendo habitación, quedando además la habitación 1 libre. Ya tenemos dónde instalar a nuestro nuevo huésped.

De hecho cualquier conjunto finito de nuevos huéspedes seguiría sin plantearnos problemas. Por ejemplo, podríamos alojar a una excursión de 200 personas pidiendo a cada huésped actual que se mudara a la habitación n+200, siendo n el número de la habitación que ocupa.

Época estival: infinitos nuevos huéspedes

Estamos ahora en época de vacaciones. El hotel de Hilbert está en la ciudad de moda, razón por la que acuden a él un número infinito de nuevos huéspedes, uno por cada natural positivo. ¿Podremos acomodarlos ahora? Pues sí, también se puede. Lo único que tenemos que hacer es mudar a cada huésped a la habitación que se obtiene de multiplicar por 2 la que tiene en este momento, es decir, si un huésped está en la habitación n lo mudamos a la habitación 2n. Así quedan ocupadas todas las habitaciones pares, quedando libres todas las impares. En ellas es donde colocamos a los nuevos clientes, de la siguiente forma: los colocamos en fila, los numeramos y después colocamos al nuevo cliente m en la habitación 2m-1 (el nuevo cliente 1 va a la habitación 1, el nuevo cliente 2 a la habitación 3, y así sucesivamente).

Estamos en crisis: cierre de establecimientos

En una época de auge hotelero la empresa propietaria de nuestro hotel decidió adquirir infinitos hoteles de Hilbert, uno por cada natural positivo. Pero la crisis llega tiempo después y dicha empresa decide cerrar todos los hoteles menos uno. El problema es bastante serio, ya que en el momento del cierre todos sus hoteles de Hilbert tienen ocupación completa, y después de cerrar deben dejar a todos los huéspedes de todos los hoteles alojados. ¿Cómo podemos, en esta ocasión, acomodar a tal cantidad de clientes? En este caso la solución es algo más complicada, pero posible.

Primero nos vamos al hotel que quedará abierto y mudamos a cada inquilino a la habitación cuyo número corresponde con el doble de su habitación actual, como hicimos antes. Quedan entonces ocupadas todas las habitaciones pares y libres todas las impares. Después numeramos los hoteles que vamos a cerrar con los números primos, es decir, el primer hotel que cerramos es el hotel 3, el segundo el hotel 5, el tercero el 7, el cuarto el 11, y así sucesivamente. Y aquí está la clave: colocamos a los inquilinos del hotel p en las habitaciones p^1,p^2, \ldots, p^n, \ldots. Esto es, los inquilinos del hotel 3 quedarán alojados en las habitaciones 3,9,27,81, \ldots; los del hotel 5 en las habitaciones 5,25,125,625, \ldots; así con todos los hoteles cerrados. Como el conjunto de números primos es infinito (Euclides, con números de Fermat, topológica y por Juan Pablo) podemos así dar acomodo a todos los huéspedes de todos los hoteles.

Via http://gaussianos.com

Thu, January 15. 2009

Notes:

Hace algún tiempo he querido comenzar con mi Tumblr, pues bien, he decidido trabajar en el primer post y aunque me va a llevar un poco de tiempo espero terminarlo lo antes posible.

En general voy a ser muy serio, técnicamente hablando, así que no espero mucho público.



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